Notation	Description
$\mathsf{P}{\mathsf{A}}^{-}$	𝐏𝐀⁻	Finitely axiomatized fragment of $\mathsf{PA}$
${\mathsf{I}}_{\mathsf{open}}$	𝐈Open	${\mathsf{PA}}^{-}$ + Induction of open formula
$\mathsf{I}{\Sigma }_0$	𝐈𝚺₀	${\mathsf{PA}}^{-}$ + Induction of ${\Sigma }_0$ formula	Theory $\mathsf{I}{\Sigma }_0$
$\mathsf{I}{\Sigma }_0+{\mathsf{\Omega }}_1$	𝐈𝚺₀ + Ω₁	$\mathsf{I}{\Sigma }_0$ + ${\Omega }_1$-axiom
$\mathsf{EA}$	𝐄𝐀	Elementary arithmetic
$\mathsf{I}{\Sigma }_1$	𝐈𝚺₁	${\mathsf{PA}}^{-}$ + Induction of ${\Sigma }_1$ formula	Theory $\mathsf{I}{\Sigma }_1$
$\mathsf{PA}$	𝐏𝐀	Peano arithmetic