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Foundation.FirstOrder.Arithmetic.HFS.Fixpoint

Fixpoint Construction #

structure LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Blueprint (k : ℕ) :

core : 𝚫₁.Semisentence (k + 2)

Instances For

@[implicit_reducible]

instance LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Blueprint.instCoeSemisentenceDeltaOneHAddNatOfNat {k : ℕ} :

Coe (Blueprint k) (𝚫₁.Semisentence (k + 2))

Equations

LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Blueprint.instCoeSemisentenceDeltaOneHAddNatOfNat = { coe := LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Blueprint.core }

def LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Blueprint.succDef {k : ℕ} (φ : Blueprint k) :

𝚺₁.Semisentence (k + 3)

Equations

One or more equations did not get rendered due to their size.

Instances For

def LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Blueprint.prBlueprint {k : ℕ} (φ : Blueprint k) :

Equations

φ.prBlueprint = { zero := LO.FirstOrder.Arithmetic.HierarchySymbol.Semiformula.mkSigma (“!!(LO.FirstOrder.Semiterm.bvar 0) = 0 ”) ⋯, succ := φ.succDef }

Instances For

def LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Blueprint.limSeqDef {k : ℕ} (φ : Blueprint k) :

𝚺₁.Semisentence (k + 2)

Equations

φ.limSeqDef = φ.prBlueprint.resultDef

Instances For

@[irreducible]

def LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Blueprint.fixpointDef {k : ℕ} (φ : Blueprint k) :

𝚺₁.Semisentence (k + 1)

Equations

One or more equations did not get rendered due to their size.

Instances For

def LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Blueprint.fixpointDefΔ₁ {k : ℕ} (φ : Blueprint k) :

𝚫₁.Semisentence (k + 1)

Equations

One or more equations did not get rendered due to their size.

Instances For

structure LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction (V : Type u_1) [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} (φ : Blueprint k) :

Type u_1

Φ : (Fin k → V) → Set V → V → Prop
defined : HierarchySymbol.Defined (fun (v : Fin (k + 1 + 1) → V) => self.Φ (fun (x : Fin k) => v x.succ.succ) {x : V | x ∈ v 1} (v 0)) φ.core
monotone {C C' : Set V} (h : C ⊆ C') {v : Fin k → V} {x : V} : self.Φ v C x → self.Φ v C' x

Instances For

class LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.Finite (V : Type u_1) [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) :

finite {C : Set V} {v : Fin k → V} {x : V} : c.Φ v C x → ∃ (m : V), c.Φ v {y : V | y ∈ C ∧ y < m} x

Instances

class LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.StrongFinite (V : Type u_1) [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) :

strong_finite {C : Set V} {v : Fin k → V} {x : V} : c.Φ v C x → c.Φ v {y : V | y ∈ C ∧ y < x} x

Instances

instance LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.instFiniteOfStrongFinite (V : Type u_1) [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) [Construction.StrongFinite V c] :

Construction.Finite V c

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.eval_formula {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) (v : Fin k.succ.succ → V) :

(Semiformula.Evalb v) ↑φ.core ↔ c.Φ (fun (x : Fin k) => v x.succ.succ) {x : V | x ∈ v 1} (v 0)

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.succ_existsUnique {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) (v : Fin k → V) (s ih : V) :

∃! u : V, ∀ (x : V), x ∈ u ↔ x ≤ s ∧ c.Φ v {z : V | z ∈ ih} x

noncomputable def LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.succ {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) (v : Fin k → V) (s ih : V) :

V

Equations

c.succ v s ih = Classical.choose! ⋯

Instances For

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.mem_succ_iff {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {x : V} {v : Fin k → V} {s ih : V} :

x ∈ c.succ v s ih ↔ x ≤ s ∧ c.Φ v {z : V | z ∈ ih} x

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.succ_defined {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) :

HierarchySymbol.DefinedFunction (fun (v : Fin (k + 2) → V) => c.succ (fun (x : Fin k) => v x.succ.succ) (v 1) (v 0)) φ.succDef

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.eval_succDef {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) (v : Fin (k + 3) → V) :

(Semiformula.Evalb v) ↑φ.succDef ↔ v 0 = c.succ (fun (x : Fin k) => v x.succ.succ.succ) (v 2) (v 1)

noncomputable def LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.prConstruction {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) :

PR.Construction V φ.prBlueprint

Equations

c.prConstruction = { zero := fun (x : Fin k → V) => ∅, succ := c.succ, zero_defined := ⋯, succ_defined := ⋯ }

Instances For

noncomputable def LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.limSeq {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) (v : Fin k → V) (s : V) :

V

Equations

c.limSeq v s = c.prConstruction.result v s

Instances For

@[simp]

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.limSeq_zero {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {v : Fin k → V} :

c.limSeq v 0 = ∅

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.limSeq_succ {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {v : Fin k → V} (s : V) :

c.limSeq v (s + 1) = c.succ v s (c.limSeq v s)

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.termSet_defined {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) :

HierarchySymbol.DefinedFunction (fun (v : Fin (k + 1) → V) => c.limSeq (fun (x : Fin k) => v x.succ) (v 0)) φ.limSeqDef

@[simp]

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.eval_limSeqDef {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) (v : Fin (k + 2) → V) :

(Semiformula.Evalb v) ↑φ.limSeqDef ↔ v 0 = c.limSeq (fun (x : Fin k) => v x.succ.succ) (v 1)

instance LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.limSeq_definable {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) :

𝚺₁.DefinableFunction fun (v : Fin (k + 1) → V) => c.limSeq (fun (x : Fin k) => v x.succ) (v 0)

@[simp]

instance LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.limSeq_definable' {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {m : ℕ} (Γ : SigmaPiDelta) :

{ Γ := Γ, rank := m + 1 }.DefinableFunction fun (v : Fin (k + 1) → V) => c.limSeq (fun (x : Fin k) => v x.succ) (v 0)

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.mem_limSeq_succ_iff {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {v : Fin k → V} {x s : V} :

x ∈ c.limSeq v (s + 1) ↔ x ≤ s ∧ c.Φ v {z : V | z ∈ c.limSeq v s} x

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.limSeq_cumulative {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {v : Fin k → V} {s s' : V} :

s ≤ s' → c.limSeq v s ⊆ c.limSeq v s'

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.mem_limSeq_self {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {v : Fin k → V} [StrongFinite V c] {u s : V} :

u ∈ c.limSeq v s → u ∈ c.limSeq v (u + 1)

def LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.Fixpoint {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) (v : Fin k → V) (x : V) :

Equations

c.Fixpoint v x = ∃ (s : V), x ∈ c.limSeq v s

Instances For

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.fixpoint_iff {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {v : Fin k → V} [StrongFinite V c] {x : V} :

c.Fixpoint v x ↔ x ∈ c.limSeq v (x + 1)

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.fixpoint_iff_succ {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {v : Fin k → V} {x : V} :

c.Fixpoint v x ↔ ∃ (u : V), x ∈ c.limSeq v (u + 1)

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.finite_upperbound {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {v : Fin k → V} (m : V) :

∃ (s : V), ∀ z < m, c.Fixpoint v z → z ∈ c.limSeq v s

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.case {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {v : Fin k → V} {x : V} [Finite V c] :

c.Fixpoint v x ↔ c.Φ v {z : V | c.Fixpoint v z} x

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.fixpoint_defined {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) :

HierarchySymbol.Defined (fun (v : Fin (k + 1) → V) => c.Fixpoint (fun (x : Fin k) => v x.succ) (v 0)) φ.fixpointDef

@[simp]

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.eval_fixpointDef {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) (v : Fin (k + 1) → V) :

(Semiformula.Evalb v) ↑φ.fixpointDef ↔ c.Fixpoint (fun (x : Fin k) => v x.succ) (v 0)

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.fixpoint_definedΔ₁ {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) [StrongFinite V c] :

HierarchySymbol.Defined (fun (v : Fin (k + 1) → V) => c.Fixpoint (fun (x : Fin k) => v x.succ) (v 0)) φ.fixpointDefΔ₁

@[simp]

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.eval_fixpointDefΔ₁ {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) [StrongFinite V c] (v : Fin (k + 1) → V) :

(Semiformula.Evalb v) ↑φ.fixpointDefΔ₁ ↔ c.Fixpoint (fun (x : Fin k) => v x.succ) (v 0)

theorem LO.FirstOrder.Arithmetic.Fixpoint.Construction.induction {V : Type u_1} [ORingStructure V] [V↓[ℒₒᵣ ] ⊧* 𝗜𝚺₁] {k : ℕ} {φ : Blueprint k} (c : Construction V φ) {v : Fin k → V} {Γ : SigmaPiDelta} [StrongFinite V c] {P : V → Prop} (hP : { Γ := Γ, rank := 1 }-Predicate P) (H : ∀ (C : Set V), (∀ x ∈ C, c.Fixpoint v x ∧ P x) → ∀ (x : V), c.Φ v C x → P x) (x : V) :

c.Fixpoint v x → P x