structure
LO.FirstOrder.Structure.Uprod
{I : Type u}
(A : I โ Type u)
(๐ค : Ultrafilter I)
:
Type u
- val : (i : I) โ A i
Instances For
instance
LO.FirstOrder.Structure.UprodStruc
{L : LO.FirstOrder.Language}
{I : Type u}
(A : I โ Type u)
[s : (i : I) โ LO.FirstOrder.Structure L (A i)]
(๐ค : Ultrafilter I)
:
Equations
- One or more equations did not get rendered due to their size.
instance
LO.FirstOrder.Structure.instNonemptyUprod
{I : Type u}
(A : I โ Type u)
(๐ค : Ultrafilter I)
[Nonempty I]
[โ (i : I), Nonempty (A i)]
:
Nonempty (LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค)
Equations
- โฏ = โฏ
@[simp]
theorem
LO.FirstOrder.Structure.func_Uprod
{L : LO.FirstOrder.Language}
{I : Type u}
(A : I โ Type u)
[s : (i : I) โ LO.FirstOrder.Structure L (A i)]
(๐ค : Ultrafilter I)
{k : โ}
(f : L.Func k)
(v : Fin k โ LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค)
:
LO.FirstOrder.Structure.func f v = { val := fun (i : I) => LO.FirstOrder.Structure.func f fun (x : Fin k) => (v x).val i }
@[simp]
theorem
LO.FirstOrder.Structure.rel_Uprod
{L : LO.FirstOrder.Language}
{I : Type u}
(A : I โ Type u)
[s : (i : I) โ LO.FirstOrder.Structure L (A i)]
(๐ค : Ultrafilter I)
{k : โ}
(r : L.Rel k)
(v : Fin k โ LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค)
:
LO.FirstOrder.Structure.rel r v โ {i : I | LO.FirstOrder.Structure.rel r fun (x : Fin k) => (v x).val i} โ ๐ค
theorem
LO.FirstOrder.Semiterm.val_Uprod
{n : โ}
{L : LO.FirstOrder.Language}
{ฮผ : Type v}
{I : Type u}
(A : I โ Type u)
[s : (i : I) โ LO.FirstOrder.Structure L (A i)]
(๐ค : Ultrafilter I)
(e : Fin n โ LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค)
(ฮต : ฮผ โ LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค)
(t : LO.FirstOrder.Semiterm L ฮผ n)
:
LO.FirstOrder.Semiterm.valm (LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค) e ฮต t = {
val := fun (i : I) =>
LO.FirstOrder.Semiterm.val (s i) (fun (x : Fin n) => (e x).val i) (fun (x : ฮผ) => (ฮต x).val i) t }
theorem
LO.FirstOrder.Semiformula.val_vecCons_val_eq
{n : โ}
{I : Type u}
{A : I โ Type u}
{๐ค : Ultrafilter I}
{e : Fin n โ LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค}
{z : LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค}
{i : I}
:
theorem
LO.FirstOrder.Semiformula.eval_Uprod
{n : โ}
{L : LO.FirstOrder.Language}
{ฮผ : Type v}
{I : Type u}
{A : I โ Type u}
[โ (i : I), Nonempty (A i)]
[s : (i : I) โ LO.FirstOrder.Structure L (A i)]
{๐ค : Ultrafilter I}
{e : Fin n โ LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค}
{ฮต : ฮผ โ LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค}
{p : LO.FirstOrder.Semiformula L ฮผ n}
:
(LO.FirstOrder.Semiformula.Evalm (LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค) e ฮต) p โ {i : I | (LO.FirstOrder.Semiformula.Eval (s i) (fun (x : Fin n) => (e x).val i) fun (x : ฮผ) => (ฮต x).val i) p} โ ๐ค
theorem
LO.FirstOrder.Semiformula.val_Uprod
{L : LO.FirstOrder.Language}
{ฮผ : Type v}
{I : Type u}
{A : I โ Type u}
[โ (i : I), Nonempty (A i)]
[s : (i : I) โ LO.FirstOrder.Structure L (A i)]
{๐ค : Ultrafilter I}
{ฮต : ฮผ โ LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค}
{p : LO.FirstOrder.Formula L ฮผ}
:
(LO.FirstOrder.Semiformula.Evalfm (LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค) ฮต) p โ {i : I | (LO.FirstOrder.Semiformula.Evalf (s i) fun (x : ฮผ) => (ฮต x).val i) p} โ ๐ค
theorem
LO.FirstOrder.models_Uprod
{L : LO.FirstOrder.Language}
{I : Type u}
{A : I โ Type u}
[s : (i : I) โ LO.FirstOrder.Structure L (A i)]
{๐ค : Ultrafilter I}
[Nonempty I]
[โ (i : I), Nonempty (A i)]
{p : LO.FirstOrder.SyntacticFormula L}
:
LO.FirstOrder.Structure.Uprod A ๐ค โงโ p โ {i : I | A i โงโ p} โ ๐ค
def
LO.FirstOrder.Semiformula.domain
{L : LO.FirstOrder.Language}
{I : Type u}
(A : I โ Type u)
[โ (i : I), Nonempty (A i)]
[s : (i : I) โ LO.FirstOrder.Structure L (A i)]
(p : LO.FirstOrder.SyntacticFormula L)
:
Set I
Equations
- LO.FirstOrder.Semiformula.domain A p = {i : I | A i โงโ p}
Instances For
@[reducible, inline]
Equations
- LO.FirstOrder.FinSubtheory T = { t : Finset (LO.FirstOrder.SyntacticFormula L) // โt โ T }
Instances For
instance
LO.FirstOrder.instNonemptyFinSubtheory
{L : LO.FirstOrder.Language}
{T : LO.FirstOrder.Theory L}
:
Equations
- โฏ = โฏ
theorem
LO.FirstOrder.ultrafilter_exists
{L : LO.FirstOrder.Language}
{T : LO.FirstOrder.Theory L}
(A : LO.FirstOrder.FinSubtheory T โ Type u)
[s : (i : LO.FirstOrder.FinSubtheory T) โ LO.FirstOrder.Structure L (A i)]
[โ (t : LO.FirstOrder.FinSubtheory T), Nonempty (A t)]
(H : โ (i : LO.FirstOrder.FinSubtheory T), A i โงโ* โโi)
:
โ (๐ค : Ultrafilter (LO.FirstOrder.FinSubtheory T)), LO.FirstOrder.Semiformula.domain A '' T โ (โ๐ค).sets
theorem
LO.FirstOrder.compactness_aux
{L : LO.FirstOrder.Language}
{T : LO.FirstOrder.Theory L}
:
LO.FirstOrder.Satisfiable T โ โ (i : LO.FirstOrder.FinSubtheory T), LO.FirstOrder.Satisfiable โโi
theorem
LO.FirstOrder.compact
{L : LO.FirstOrder.Language}
{T : LO.FirstOrder.Theory L}
:
LO.FirstOrder.Satisfiable T โ โ (u : Finset (LO.FirstOrder.SyntacticFormula L)), โu โ T โ LO.FirstOrder.Satisfiable โu
Equations
- โฏ = โฏ