theorem
LO.FirstOrder.Arith.modelsWithParam_iff_models_substs
(V : Type u_1)
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{k : ℕ}
{v : Fin k → ℕ}
{φ : Semisentence ℒₒᵣ k}
:
theorem
LO.FirstOrder.Arith.shigmaZero_absolute
(V : Type u_1)
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{k : ℕ}
(φ : 𝚺₀.Semisentence k)
(v : Fin k → ℕ)
:
ℕ ⊧/v (HierarchySymbol.Semiformula.val φ) ↔ (V ⊧/fun (x : Fin k) => ↑(v x)) (HierarchySymbol.Semiformula.val φ)
theorem
LO.FirstOrder.Arith.Defined.shigmaZero_absolute
(V : Type u_1)
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{k : ℕ}
{R : (Fin k → ℕ) → Prop}
{R' : (Fin k → V) → Prop}
{φ : 𝚺₀.Semisentence k}
(hR : HierarchySymbol.Defined R φ)
(hR' : HierarchySymbol.Defined R' φ)
(v : Fin k → ℕ)
:
theorem
LO.FirstOrder.Arith.DefinedFunction.shigmaZero_absolute_func
(V : Type u_1)
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{k : ℕ}
{f : (Fin k → ℕ) → ℕ}
{f' : (Fin k → V) → V}
{φ : 𝚺₀.Semisentence (k + 1)}
(hf : HierarchySymbol.DefinedFunction f φ)
(hf' : HierarchySymbol.DefinedFunction f' φ)
(v : Fin k → ℕ)
:
theorem
LO.FirstOrder.Arith.sigmaOne_upward_absolute
(V : Type u_1)
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{k : ℕ}
(φ : 𝚺₁.Semisentence k)
(v : Fin k → ℕ)
:
ℕ ⊧/v (HierarchySymbol.Semiformula.val φ) → (V ⊧/fun (x : Fin k) => ↑(v x)) (HierarchySymbol.Semiformula.val φ)
theorem
LO.FirstOrder.Arith.piOne_downward_absolute
(V : Type u_1)
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{k : ℕ}
(φ : 𝚷₁.Semisentence k)
(v : Fin k → ℕ)
:
(V ⊧/fun (x : Fin k) => ↑(v x)) (HierarchySymbol.Semiformula.val φ) → ℕ ⊧/v (HierarchySymbol.Semiformula.val φ)
theorem
LO.FirstOrder.Arith.deltaOne_absolute
(V : Type u_1)
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{k : ℕ}
(φ : 𝚫₁.Semisentence k)
(properNat : HierarchySymbol.Semiformula.ProperOn ℕ φ)
(proper : HierarchySymbol.Semiformula.ProperOn V φ)
(v : Fin k → ℕ)
:
ℕ ⊧/v (HierarchySymbol.Semiformula.val φ) ↔ (V ⊧/fun (x : Fin k) => ↑(v x)) (HierarchySymbol.Semiformula.val φ)
theorem
LO.FirstOrder.Arith.Defined.shigmaOne_absolute
(V : Type u_1)
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{k : ℕ}
{R : (Fin k → ℕ) → Prop}
{R' : (Fin k → V) → Prop}
{φ : 𝚫₁.Semisentence k}
(hR : HierarchySymbol.Defined R φ)
(hR' : HierarchySymbol.Defined R' φ)
(v : Fin k → ℕ)
:
theorem
LO.FirstOrder.Arith.DefinedFunction.shigmaOne_absolute_func
(V : Type u_1)
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{k : ℕ}
{f : (Fin k → ℕ) → ℕ}
{f' : (Fin k → V) → V}
{φ : 𝚺₁.Semisentence (k + 1)}
(hf : HierarchySymbol.DefinedFunction f φ)
(hf' : HierarchySymbol.DefinedFunction f' φ)
(v : Fin k → ℕ)
:
theorem
LO.FirstOrder.Arith.models_iff_of_Delta1
{V : Type u_1}
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{n : ℕ}
{σ : 𝚫₁.Semisentence n}
(hσ : HierarchySymbol.Semiformula.ProperOn ℕ σ)
(hσV : HierarchySymbol.Semiformula.ProperOn V σ)
{e : Fin n → ℕ}
:
(V ⊧/fun (x : Fin n) => ↑(e x)) (HierarchySymbol.Semiformula.val σ) ↔ ℕ ⊧/e (HierarchySymbol.Semiformula.val σ)
noncomputable instance
LO.FirstOrder.Arith.instSubtheorySyntacticFormulaORingTheoryCobhamR0_arithmetization
{T : Theory ℒₒᵣ}
[𝐏𝐀⁻ ≼ T]
:
theorem
LO.FirstOrder.Arith.models_iff_provable_of_Sigma0_param
{V : Type u_1}
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{T : Theory ℒₒᵣ}
[𝐏𝐀⁻ ≼ T]
[Sigma1Sound T]
{n : ℕ}
[V ⊧ₘ* T]
{σ : Semisentence ℒₒᵣ n}
(hσ : Hierarchy 𝚺 0 σ)
{e : Fin n → ℕ}
:
theorem
LO.FirstOrder.Arith.models_iff_provable_of_Delta1_param
{V : Type u_1}
[ORingStruc V]
[V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻]
{T : Theory ℒₒᵣ}
[𝐏𝐀⁻ ≼ T]
[Sigma1Sound T]
{n : ℕ}
[V ⊧ₘ* T]
{σ : 𝚫₁.Semisentence n}
(hσ : HierarchySymbol.Semiformula.ProperOn ℕ σ)
(hσV : HierarchySymbol.Semiformula.ProperOn V σ)
{e : Fin n → ℕ}
:
(V ⊧/fun (x : Fin n) => ↑(e x)) (HierarchySymbol.Semiformula.val σ) ↔ T ⊢!. HierarchySymbol.Semiformula.val σ ⇜ fun (x : Fin n) => ↑(Semiterm.Operator.numeral ℒₒᵣ (e x))