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Arithmetization.Definability.Absoluteness

theorem LO.FirstOrder.Arith.modelsWithParam_iff_models_substs (V : Type u_1) [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {v : Fin k} {φ : Semisentence ℒₒᵣ k} :
(V ⊧/fun (x : Fin k) => (v x)) φ V ⊧ₘ₀ φ fun (i : Fin k) => (Semiterm.Operator.numeral ℒₒᵣ (v i))
theorem LO.FirstOrder.Arith.shigmaZero_absolute (V : Type u_1) [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } (φ : 𝚺₀.Semisentence k) (v : Fin k) :
theorem LO.FirstOrder.Arith.Defined.shigmaZero_absolute (V : Type u_1) [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {R : (Fin k)Prop} {R' : (Fin kV)Prop} {φ : 𝚺₀.Semisentence k} (hR : HierarchySymbol.Defined R φ) (hR' : HierarchySymbol.Defined R' φ) (v : Fin k) :
R v R' fun (i : Fin k) => (v i)
theorem LO.FirstOrder.Arith.DefinedFunction.shigmaZero_absolute_func (V : Type u_1) [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {f : (Fin k)} {f' : (Fin kV)V} {φ : 𝚺₀.Semisentence (k + 1)} (hf : HierarchySymbol.DefinedFunction f φ) (hf' : HierarchySymbol.DefinedFunction f' φ) (v : Fin k) :
(f v) = f' fun (i : Fin k) => (v i)
theorem LO.FirstOrder.Arith.sigmaOne_upward_absolute (V : Type u_1) [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } (φ : 𝚺₁.Semisentence k) (v : Fin k) :
theorem LO.FirstOrder.Arith.piOne_downward_absolute (V : Type u_1) [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } (φ : 𝚷₁.Semisentence k) (v : Fin k) :
theorem LO.FirstOrder.Arith.Defined.shigmaOne_absolute (V : Type u_1) [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {R : (Fin k)Prop} {R' : (Fin kV)Prop} {φ : 𝚫₁.Semisentence k} (hR : HierarchySymbol.Defined R φ) (hR' : HierarchySymbol.Defined R' φ) (v : Fin k) :
R v R' fun (i : Fin k) => (v i)
theorem LO.FirstOrder.Arith.DefinedFunction.shigmaOne_absolute_func (V : Type u_1) [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {f : (Fin k)} {f' : (Fin kV)V} {φ : 𝚺₁.Semisentence (k + 1)} (hf : HierarchySymbol.DefinedFunction f φ) (hf' : HierarchySymbol.DefinedFunction f' φ) (v : Fin k) :
(f v) = f' fun (i : Fin k) => (v i)
theorem LO.FirstOrder.Arith.models_iff_of_Sigma0 {V : Type u_1} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {n : } {σ : Semisentence ℒₒᵣ n} (hσ : Hierarchy 𝚺 0 σ) {e : Fin n} :
(V ⊧/fun (x : Fin n) => (e x)) σ ⊧/e σ
theorem LO.FirstOrder.Arith.models_iff_provable_of_Sigma0_param {V : Type u_1} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {T : Theory ℒₒᵣ} [𝐏𝐀⁻ T] [Sigma1Sound T] {n : } [V ⊧ₘ* T] {σ : Semisentence ℒₒᵣ n} (hσ : Hierarchy 𝚺 0 σ) {e : Fin n} :
(V ⊧/fun (x : Fin n) => (e x)) σ T ⊢!. σ fun (x : Fin n) => (Semiterm.Operator.numeral ℒₒᵣ (e x))