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Arithmetization.Definability.BoundedBoldface

@[reducible, inline]
abbrev LO.FirstOrder.Arith.Bounded₁ {V : Type u_2} [ORingStruc V] (f : VV) :
Equations
@[reducible, inline]
abbrev LO.FirstOrder.Arith.Bounded₂ {V : Type u_2} [ORingStruc V] (f : VVV) :
Equations
@[reducible, inline]
abbrev LO.FirstOrder.Arith.Bounded₃ {V : Type u_2} [ORingStruc V] (f : VVVV) :
Equations
instance LO.FirstOrder.Arith.instBounded {V : Type u_2} [ORingStruc V] {k : } (f : (Fin kV)V) [h : Bounded f] :
@[simp]
theorem LO.FirstOrder.Arith.Bounded.var {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } (i : Fin k) :
Bounded fun (v : Fin kV) => v i
@[simp]
theorem LO.FirstOrder.Arith.Bounded.const {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } (c : V) :
Bounded fun (x : Fin kV) => c
@[simp]
theorem LO.FirstOrder.Arith.Bounded.term_retraction {n : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {k : } [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] (t : Semiterm ℒₒᵣ V n) (e : Fin nFin k) :
Bounded fun (v : Fin kV) => Semiterm.valm V (fun (x : Fin n) => v (e x)) id t
@[simp]
theorem LO.FirstOrder.Arith.Bounded.term {V : Type u_2} [ORingStruc V] {k : } [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] (t : Semiterm ℒₒᵣ V k) :
Bounded fun (v : Fin kV) => Semiterm.valm V v id t
theorem LO.FirstOrder.Arith.Bounded.retraction {n : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {k : } {f : (Fin kV)V} (hf : Bounded f) (e : Fin kFin n) :
Bounded fun (v : Fin nV) => f fun (i : Fin k) => v (e i)
theorem LO.FirstOrder.Arith.Bounded.comp {V : Type u_2} [ORingStruc V] {l : } [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {f : (Fin lV)V} {g : Fin l(Fin kV)V} (hf : Bounded f) (hg : ∀ (i : Fin l), Bounded (g i)) :
Bounded fun (v : Fin kV) => f fun (x : Fin l) => g x v
theorem LO.FirstOrder.Arith.Bounded₁.comp {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {f : VV} {k : } {g : (Fin kV)V} (hf : Bounded₁ f) (hg : Bounded g) :
Bounded fun (v : Fin kV) => f (g v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.Bounded₂.comp {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {f : VVV} {k : } {g₁ g₂ : (Fin kV)V} (hf : Bounded₂ f) (hg₁ : Bounded g₁) (hg₂ : Bounded g₂) :
Bounded fun (v : Fin kV) => f (g₁ v) (g₂ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.Bounded₃.comp {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {f : VVVV} {k : } {g₁ g₂ g₃ : (Fin kV)V} (hf : Bounded₃ f) (hg₁ : Bounded g₁) (hg₂ : Bounded g₂) (hg₃ : Bounded g₃) :
Bounded fun (v : Fin kV) => f (g₁ v) (g₂ v) (g₃ v)
instance LO.FirstOrder.Arith.Bounded₂.add {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] :
Bounded₂ fun (x1 x2 : V) => x1 + x2
instance LO.FirstOrder.Arith.Bounded₂.mul {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] :
Bounded₂ fun (x1 x2 : V) => x1 * x2
@[reducible, inline]
abbrev LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction₂ {V : Type u_2} [ORingStruc V] (f : VVV) :
Equations
@[reducible, inline]
abbrev LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction₃ {V : Type u_2} [ORingStruc V] (f : VVVV) :
Equations
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction.definable {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} {k : } {f : (Fin kV)V} (h : BoldfaceBoundedFunction f) :
.BoldfaceFunction f
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction.of_polybounded_of_definable {V : Type u_2} [ORingStruc V] {k : } (f : (Fin kV)V) [hb : Bounded f] [hf : 𝚺₀.BoldfaceFunction f] :
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction.retraction {n : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {k : } {f : (Fin kV)V} (hf : BoldfaceBoundedFunction f) (e : Fin kFin n) :
BoldfaceBoundedFunction fun (v : Fin nV) => f fun (i : Fin k) => v (e i)
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.ball_blt {k : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {P : (Fin kV)VProp} {f : (Fin kV)V} (hf : BoldfaceBoundedFunction f) (h : .Boldface fun (w : Fin (k + 1)V) => P (fun (x : Fin k) => w x.succ) (w 0)) :
.Boldface fun (v : Fin kV) => x < f v, P v x
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bex_blt {k : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {P : (Fin kV)VProp} {f : (Fin kV)V} (hf : BoldfaceBoundedFunction f) (h : .Boldface fun (w : Fin (k + 1)V) => P (fun (x : Fin k) => w x.succ) (w 0)) :
.Boldface fun (v : Fin kV) => x < f v, P v x
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.ball_ble {k : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {P : (Fin kV)VProp} {f : (Fin kV)V} (hf : BoldfaceBoundedFunction f) (h : .Boldface fun (w : Fin (k + 1)V) => P (fun (x : Fin k) => w x.succ) (w 0)) :
.Boldface fun (v : Fin kV) => xf v, P v x
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bex_ble {k : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {P : (Fin kV)VProp} {f : (Fin kV)V} (hf : BoldfaceBoundedFunction f) (h : .Boldface fun (w : Fin (k + 1)V) => P (fun (x : Fin k) => w x.succ) (w 0)) :
.Boldface fun (v : Fin kV) => xf v, P v x
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.ball_blt_zero {k : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {Γ : SigmaPiDelta} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {P : (Fin kV)VProp} {f : (Fin kV)V} (hf : BoldfaceBoundedFunction f) (h : { Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (w : Fin (k + 1)V) => P (fun (x : Fin k) => w x.succ) (w 0)) :
{ Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (v : Fin kV) => x < f v, P v x
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bex_blt_zero {k : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {Γ : SigmaPiDelta} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {P : (Fin kV)VProp} {f : (Fin kV)V} (hf : BoldfaceBoundedFunction f) (h : { Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (w : Fin (k + 1)V) => P (fun (x : Fin k) => w x.succ) (w 0)) :
{ Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (v : Fin kV) => x < f v, P v x
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.ball_ble_zero {k : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {Γ : SigmaPiDelta} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {P : (Fin kV)VProp} {f : (Fin kV)V} (hf : BoldfaceBoundedFunction f) (h : { Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (w : Fin (k + 1)V) => P (fun (x : Fin k) => w x.succ) (w 0)) :
{ Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (v : Fin kV) => xf v, P v x
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bex_ble_zero {k : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {Γ : SigmaPiDelta} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {P : (Fin kV)VProp} {f : (Fin kV)V} (hf : BoldfaceBoundedFunction f) (h : { Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (w : Fin (k + 1)V) => P (fun (x : Fin k) => w x.succ) (w 0)) :
{ Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (v : Fin kV) => xf v, P v x
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bex_vec_le_boldfaceBoundedFunction {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {l k : } {φ : Fin l(Fin kV)V} {P : (Fin kV)(Fin lV)Prop} (pp : ∀ (i : Fin l), BoldfaceBoundedFunction (φ i)) (hP : .Boldface fun (w : Fin (k + l)V) => P (fun (i : Fin k) => w (Fin.castAdd l i)) fun (j : Fin l) => w (Fin.natAdd k j)) :
.Boldface fun (v : Fin kV) => wfun (x : Fin l) => φ x v, P v w
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.substitution_boldfaceBoundedFunction {k : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {P : (Fin kV)Prop} {l : } {f : Fin k(Fin lV)V} (hP : .Boldface P) (hf : ∀ (i : Fin k), BoldfaceBoundedFunction (f i)) :
.Boldface fun (z : Fin lV) => P fun (x : Fin k) => f x z
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction.of_iff {V : Type u_2} [ORingStruc V] {k : } {f g : (Fin kV)V} (H : BoldfaceBoundedFunction f) (h : ∀ (v : Fin kV), f v = g v) :
@[simp]
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction.var {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } (i : Fin k) :
BoldfaceBoundedFunction fun (v : Fin kV) => v i
@[simp]
@[simp]
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction.term_retraction {n : } {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } (t : Semiterm ℒₒᵣ V n) (e : Fin nFin k) :
BoldfaceBoundedFunction fun (v : Fin kV) => Semiterm.valm V (fun (x : Fin n) => v (e x)) id t
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bcomp₁ {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {P : VProp} {f : (Fin kV)V} [hP : -Predicate P] (hf : BoldfaceBoundedFunction f) :
.Boldface fun (v : Fin kV) => P (f v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bcomp₂ {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {R : VVProp} {f₁ f₂ : (Fin kV)V} [hR : -Relation R] (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) :
.Boldface fun (v : Fin kV) => R (f₁ v) (f₂ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bcomp₃ {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {R : VVVProp} {f₁ f₂ f₃ : (Fin kV)V} [hR : -Relation₃ R] (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) (hf₃ : BoldfaceBoundedFunction f₃) :
.Boldface fun (v : Fin kV) => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bcomp₄ {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {R : VVVVProp} {f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin kV)V} [hR : -Relation₄ R] (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) (hf₃ : BoldfaceBoundedFunction f₃) (hf₄ : BoldfaceBoundedFunction f₄) :
.Boldface fun (v : Fin kV) => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bcomp₁_zero {V : Type u_2} [ORingStruc V] {Γ : SigmaPiDelta} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {P : VProp} {f : (Fin kV)V} [hP : { Γ := Γ, rank := 0 }-Predicate P] (hf : BoldfaceBoundedFunction f) :
{ Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (v : Fin kV) => P (f v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bcomp₂_zero {V : Type u_2} [ORingStruc V] {Γ : SigmaPiDelta} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {R : VVProp} {f₁ f₂ : (Fin kV)V} [hR : { Γ := Γ, rank := 0 }-Relation R] (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) :
{ Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (v : Fin kV) => R (f₁ v) (f₂ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bcomp₃_zero {V : Type u_2} [ORingStruc V] {Γ : SigmaPiDelta} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {R : VVVProp} {f₁ f₂ f₃ : (Fin kV)V} [hR : { Γ := Γ, rank := 0 }-Relation₃ R] (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) (hf₃ : BoldfaceBoundedFunction f₃) :
{ Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (v : Fin kV) => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.Boldface.bcomp₄_zero {V : Type u_2} [ORingStruc V] {Γ : SigmaPiDelta} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {R : VVVVProp} {f₁ f₂ f₃ f₄ : (Fin kV)V} [hR : { Γ := Γ, rank := 0 }-Relation₄ R] (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) (hf₃ : BoldfaceBoundedFunction f₃) (hf₄ : BoldfaceBoundedFunction f₄) :
{ Γ := Γ, rank := 0 }.Boldface fun (v : Fin kV) => R (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v) (f₄ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.BoldfaceFunction.bcomp {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {l k : } {F : (Fin lV)V} {f : Fin l(Fin kV)V} (hF : .BoldfaceFunction F) (hf : ∀ (i : Fin l), BoldfaceBoundedFunction (f i)) :
.BoldfaceFunction fun (v : Fin kV) => F fun (x : Fin l) => f x v
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.BoldfaceFunction₁.bcomp {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {F : VV} {f : (Fin kV)V} (hF : -Function₁ F) (hf : BoldfaceBoundedFunction f) :
.BoldfaceFunction fun (v : Fin kV) => F (f v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.BoldfaceFunction₂.bcomp {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {F : VVV} {f₁ f₂ : (Fin kV)V} (hF : -Function₂ F) (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) :
.BoldfaceFunction fun (v : Fin kV) => F (f₁ v) (f₂ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.HierarchySymbol.BoldfaceFunction₃.bcomp {V : Type u_2} [ORingStruc V] {ℌ : HierarchySymbol} [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {F : VVVV} {f₁ f₂ f₃ : (Fin kV)V} (hF : -Function₃ F) (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) (hf₃ : BoldfaceBoundedFunction f₃) :
.BoldfaceFunction fun (v : Fin kV) => F (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction₁.comp {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {F : VV} {f : (Fin kV)V} (hF : BoldfaceBoundedFunction₁ F) (hf : BoldfaceBoundedFunction f) :
BoldfaceBoundedFunction fun (v : Fin kV) => F (f v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction₂.comp {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {F : VVV} {f₁ f₂ : (Fin kV)V} (hF : BoldfaceBoundedFunction₂ F) (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) :
BoldfaceBoundedFunction fun (v : Fin kV) => F (f₁ v) (f₂ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction₃.comp {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {F : VVVV} {f₁ f₂ f₃ : (Fin kV)V} (hF : BoldfaceBoundedFunction₃ F) (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) (hf₃ : BoldfaceBoundedFunction f₃) :
BoldfaceBoundedFunction fun (v : Fin kV) => F (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction.comp₁ {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {F : VV} {f : (Fin kV)V} [hFb : Bounded₁ F] [hFd : 𝚺₀-Function₁ F] (hf : BoldfaceBoundedFunction f) :
BoldfaceBoundedFunction fun (v : Fin kV) => F (f v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction.comp₂ {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {F : VVV} {f₁ f₂ : (Fin kV)V} [hFb : Bounded₂ F] [hFd : 𝚺₀-Function₂ F] (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) :
BoldfaceBoundedFunction fun (v : Fin kV) => F (f₁ v) (f₂ v)
theorem LO.FirstOrder.Arith.BoldfaceBoundedFunction.comp₃ {V : Type u_2} [ORingStruc V] [V ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻] {k : } {F : VVVV} {f₁ f₂ f₃ : (Fin kV)V} [hFb : Bounded₃ F] [hFd : 𝚺₀-Function₃ F] (hf₁ : BoldfaceBoundedFunction f₁) (hf₂ : BoldfaceBoundedFunction f₂) (hf₃ : BoldfaceBoundedFunction f₃) :
BoldfaceBoundedFunction fun (v : Fin kV) => F (f₁ v) (f₂ v) (f₃ v)
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